MÉTODOS DE CÁLCULO EN FOTOGRAMETRÍA ANALÍTICA

2.5. LINEALIZACION

2.5.1. Desarrollo de Taylor

 

Si el Modelo Matemático sobredeterminado cuya solución mínimo-cuadrática se trata de obtener es No Lineal (el caso de la condición de coplanaridad), será preciso llevar a cabo su linealización previa. Existen para ello diversos métodos pero el que resulta aplicable en todos los casos es el que se basa en sustituir dicho Modelo Matemático por los dos primeros términos del Desarrollo en serie de Taylor del mismo, es decir:

 

F(X)  = F(Xo) + F’(Xo) * dX

 

siendo F(X) la función (o funciones) original; F(Xo), la particularización de dicha función para un determinado valor (o valores);  F’(Xo), la particularización de la primera derivada de la función respecto de la variable (o variables) intervinientes para el mismo valor y dX, la corrección de la variable o discrepancia X - Xo.

 

En el caso de que el modelo matemático se componga de (m) funciones dependientes de (n) variables, con m > n, la linealización puede expresarse como:

 

F1 / x1

F1 / x2

F1 / x..

.....

.....

F1 / xn

 

dx1

 

F1

 

V1

F2 / x1

F2 / x2

F2 / x..

.....

.....

F2 / xn

 

dx2

 

F2

 

V2

.....

.....

.....

.....

.....

.....

 *

.....

 +

.....

 =

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

 

.....

 

.....

Fm/ x1

Fm / x2

Fm / x..

.....

.....

Fm / xn

.....

dxm

 

Fm

 

Vm

 

Esto es:

mJ0n *ndx1 + mF01 = mV1

 

suponiendo que la falta de verificación de cada una de las funciones del Modelo es equiparable al residuo de la misma en sentido laxo.  Este sistema de ecuaciones es un Sistema de Observación, lineal y sobredeterminado, cuya solución mínimo-cuadrática puede expresarse como:

 

J0T J0dx + J0T F0 = 0

 

expresión correspondiente al Sistema Normal de Ecuaciones y

 

dx = -[J0T J0]-1 * J0TF0

 

expresión correspondiente a la solución. En la medida en que esta solución debe ser entendida como la corrección de la variable (discrepancias X - Xo) a aplicar a la particularización hecha, el proceso todavía requerirá de este paso de manera que:

 

X = Xo + dX

 

Ahora bien, si las observaciones del Modelo Matemático sobredeterminado que se linealiza mediante el Desarrollo en serie de Taylor, no presentan precisiones equivalentes será preciso interpretar los residuos en su sentido riguroso, esto es, asociados a cada observación.

 

queda como

 

F1 / x1

F1 / x2

…..

…..

F1 / xn

 

dx1

 

F1 / l1 F1 / l2… F1 / lp

 

vl1

 

F1

 

F2 / x1

F2 / x2

…..

…..

F2/ xn

 

dx2

 

F2 / l1 F2 / l2… F2 / lp

 

vl2

 

F2

 

 

 

…..

…..

 

 *

 

 +

…...

 *

…..

+

…..

 = 0

 

 

…..

…..

 

 

 

 

…..

 

…..

 

…..

 

Fm / x1

Fm / x2

…..

…..

Fm/ xn

 

dxm

 

Fm / l1 Fm / l2… Fm / lp

 

vlp

 

Fm

 

 

Esto es:

 

mJ0n ndx1 + mH0p*pV1+ mF01 = 0

 

Sistema de Observación Mixto en la forma:

 

mAn*nX1 + mBp*pV1+ mT1 = 0

 

cuya solución mínimo cuadrática es:

 

nJ0Tm[mHoppWp-1pH0Tm]-1 mJ0n ndX1 + nJ0Tm[mH0ppWp-1pH0Tm]-1mT1 = 0

 

 

 

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